Παραγωγισιμότητα και συνέχεια

Παρουσιάζω παρακάτω μία "διαφορετική" απόδειξη του ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ τότε είναι συνεχής και σε αυτό.

Αρκεί να δείξουμε ότι $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$ . Εφόσον η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ έπεται ότι

$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \ell \in \mathbb{R}$
Τότε,
$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow x_0} \left ( f(x) - f(x_0) \right ) &= \lim_{x \rightarrow x_0} \left ( \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \left ( x-x_0 \right ) \right ) \\ &= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \cdot \lim_{x \rightarrow x_0} \left ( x - x_0 \right ) \\ &= \ell \cdot 0 \\ &= 0 \end{align*}$
Για $x$ κοντά στο $x_0$ θέτουμε $g(x) = f(x) - f(x_0)$ οπότε $\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = 0$ . Άρα,

$\begin{align*} g(x) = f(x) - f(x_0) &\Rightarrow f(x) = g(x) + f(x_0) \\ &\Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \left ( g(x) + f(x_0) \right ) \\ &=\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) \end{align*}$