Συνδυαστική

Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=xe^x$ .

Να μελετηθεί η $f$ ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών αυτής. Στη συνέχεια να αποδειχθεί ότι:
$f^{(\nu)} (x) = \nu e^x + f(x)$ όπου $\nu \in \mathbb{N}^*$ .
$f^{\left ( \nu \right )}\left ( \mathbb{R} \right ) \subseteq f^{(\nu-1)} \left ( \mathbb{R} \right ) \subseteq \cdots \subseteq f \left ( \mathbb{R} \right )$
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f^{(\nu)}$ και $f^{(\kappa)}$ όπου $\nu , \kappa \in \mathbb{N}^*$ με $\nu \neq \kappa$ δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.
Η ευθεία $y=(\nu +1) x + \nu$ όπου $\nu \in \mathbb{N}^*$ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της $f^{(\nu)}$ .