Επαναληπτικό θέμα για απόφοιτους

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{1}{x},x \ne 0$ και οι ευθείες $\left( {{\varepsilon _1}} \right):y = x$ και $\left( {{\varepsilon _2}} \right):y = - x$

1. Να αποδείξετε ότι $\varepsilon \varphi x > x,$ για κάθε $x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ .

2. Να υπολογίσετε το όριο $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} \cdot \sigma \upsilon \nu x - 1}}{x}} \right)$

3. Να αποδείξετε ότι η ${\varepsilon _1}$ είναι ασύμπτωτη της ${C_f}$ στο $+ \infty$ , ενώ η ${\varepsilon _2}$ είναι ασύμπτωτη της ${C_f}$ στο $- \infty$ .

4. Να δείξετε ότι η ${C_f}$ είναι κάτω από την ${\varepsilon _1}$ στο $\left( {1, + \infty } \right)$ και κάτω από την ${\varepsilon _2}$ , στο $\left( { - \infty , - 1} \right)$ .

5. Αν $F$ μια αρχική της $f$ στο $\Delta = \left[ {2017, + \infty } \right)$ και $\lambda \$ ένας σταθερός πραγματικός αριθμός που βρίσκεται στο διάστημα $\left( {2017, + \infty } \right)$ , να δείξετε ότι $F\left( {\lambda + 1} \right) - F\left( \lambda \right) < \lambda + \frac{1}{2}$ και να ερμηνεύσετε γραφικά την ανισότητα.

Δική μου κατασκευή το 2017