Υπάρχει;

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 122
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Υπάρχει;

Δημοσίευση από Κώστας Σερίφης »

Υπάρχει στο σύνολο των πραγματικών συνεχής συνάρτηση ώστε: ;
makisman
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: 07 Φεβ 2016, 17:46

Re: Υπάρχει;

Δημοσίευση από makisman »

Αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση , είναι αφου και αφού συνεχής θα είναι και γν. μονότονη.

Εστω η οποία είναι στο , στο , στο .

Τότε , (1) η οποία είναι γν. αύξουσα στο .

Yποθέτουμε χ.β.γ. γν.αύξουσα .Η δεν μπορεί να παίρνει τιμές μόνο στο αφού τότε που είναι ατοπο εφόσον από (1) είναι . Ομοίως στα άλλα διαστήματα .

Άμεσα προκύπτει οτι δεν μπορει η να παίρνει τιμές μόνο στα ή για παρόμοιο λόγο .
Ακόμα η δεν μπορει να παίρνει τιμές μόνο στα γιατι τότε θα είναι ασυνεχής.
Αρα η παίρνει τουλάχιστον μια τιμή στο και μια τιμή στο .Λόγω συνέχειας θα παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα τους .

Άρα υπάρχουν ώστε ,οπότε τότε

- αφου η ειναι γν. αύξουσα θα είναι (2).
- από τη μονοτονία της είναι και και τότε από (1) και (3)

Από (2),(3) έχουμε άτοπο ,άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.



EDIT : έγραψα αναλυτικοτερα τη δικαιολόγηση.
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 122
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει;

Δημοσίευση από Κώστας Σερίφης »

Ευχαριστώ το Μάκη για την πολύ ωραία απόδειξη.

Στο παρακάτω συνημμένο δείτε τις συναρτήσεις που προκύπτουν από τη σχέση
ώστε: ;
Χρησιμοποιήθηκε ο τύπος επίλυσης τριτοβάθμιας εξίσωσης και... ολίγον μιγαδικοί.
Συνάρτηση.pdf
(281.84 KiB) Μεταφορτώθηκε 522 φορές
Απάντηση