Υποτιθέμενο ερώτημα εξετάσεων 2
Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις
 \to R)
που είναι τέτοιος ώστε
}}{x}dt} = f\left( x \right) - 1,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right))
.
Η λύση της πλειονότητας των περσινών μαθητών
Αφού δικαιολογήσουν την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης
και φέρουν την σχέση στην μορφή
dt} = xf\left( x \right) - x)
, παραγωγίζουν τα μέλη, και έχουν
 = f\left( x \right) + xf'\left( x \right) - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( x \right) = \ln x + c)
Για
βρίσκουμε (λαμβάνοντας υπόψη και την αρχική σχέση) ότι
άρα
 = \ln x + 1)
η οποία επαληθεύει την υπόθεση της άσκησης.
Φετινή λύση 
Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού, αν
μια αρχική της
στο
)
, (έχει αρχική αφού είναι συνεχής) ισχύει
dt} = G\left( x \right) - G\left( 1 \right))
.
Η αρχική σχέση μετασχηματίζεται ισοδύναμα στην
 - G\left( x \right) = x - G\left( 1 \right) \Leftrightarrow)
(εδώ χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός της αρχικής)
 - G\left( x \right)}}{{{\chi ^2}}} = \frac{1}{\chi } - \frac{{G\left( 1 \right)}}{{{\chi ^2}}} \Leftrightarrow)
 - G\left( 1 \right)} \right)}^\prime } - \left( {G\left( x \right) - G\left( 1 \right)} \right)}}{{{\chi ^2}}} = \frac{1}{\chi } \Leftrightarrow)
 - G\left( 1 \right)}}{x}} \right)^\prime } = {\left( {\ln x} \right)^\prime } \Leftrightarrow \frac{{G\left( x \right) - G\left( 1 \right)}}{x} = \ln x + c)
Για
προκύπτει
Άρα
 - G\left( 1 \right) = x\ln x \Leftrightarrow \int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} = x\ln x)
Αντικαθιστώντας το ολοκλήρωμα στην αρχική σχέση έχουμε:
 - x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \ln x + 1)
