1. να υπολογίσετε την τιμή
2. να βρείτε τον τύπο της
Συναρτησιακή-τιμή-τύπος
Συναρτησιακή-τιμή-τύπος
Αν για την γνησίως αύξουσα συνάρτηση  \to R)
ισχύουν:
>-\frac{1}{x},\forall x>0)
και
f\bigg(f(x)+\frac{1}{x}\bigg)=1,\forall x>0)
, τότε:
1. να υπολογίσετε την τιμή)
2. να βρείτε τον τύπο της
με την επιπλέον προϋπόθεση ότι αυτή είναι συνεχής
1. να υπολογίσετε την τιμή
2. να βρείτε τον τύπο της
Re: Συναρτησιακή-τιμή-τύπος
1. Η συνάρτηση είναι 1-1 αφού είναι γνησίως αύξουσα.
Για
έχουμε f\left( {f\left( 1 \right) + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow f\left( {f\left( 1 \right) + 1} \right) = \frac{1}{{f\left( 1 \right)}})
Για + 1)
είναι
 + 1} \right)f\left( {f\left( {f\left( 1 \right) + 1} \right) + \frac{1}{{f\left( 1 \right) + 1}}} \right) = 1 \Rightarrow )
}} \cdot f\left( {f\left( {f\left( 1 \right) + 1} \right) + \frac{1}{{f\left( 1 \right) + 1}}} \right) = 1 \Rightarrow )
 + 1} \right) + \frac{1}{{f\left( 1 \right) + 1}}} \right) = f\left( 1 \right) \Rightarrow )
 + 1} \right) + \frac{1}{{f\left( 1 \right) + 1}} = 1 \Rightarrow )
}} + \frac{1}{{f\left( 1 \right) + 1}} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2})
Αν = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2})
τότε είναι
 + 1} \right) = \frac{1}{{f\left( 1 \right)}} \Leftrightarrow )
 = \frac{2}{{1 + \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} < \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} < 1)
άρα = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2})
η οποία είναι δεκτή αφού ικανοποιεί την υπόθεση της άσκησης
Για
Για
Αν
άρα
Re: Συναρτησιακή-τιμή-τύπος
2 Δουλεύοντας όμοια ...λαμβάνοντας υπόψη και το θεώρημα διατήρησης προσήμου προκύπτει  = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{{2x}})