Serifis.com

Α΄ Λυκείου

Αν $\displaystyle \rho>0$ , $\left.\begin{matrix} (a-k)^2+(\beta-\lambda)^2=\rho^2\\ (\gamma-k)^2+(\delta-\lambda)^2=\rho^2\\ (a-\gamma)^2+(\beta-\delta)^2=4\rho^2 \end{matrix}\right\}$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle a+\gamma=2k$ και $\displaystyle \beta+\delta=2\lambda$

Β΄ Λυκείου (κατεύθυνσης)

Αν $\displaystyle \rho>0$ , $\left.\begin{matrix} (a-k)^2+(\beta-\lambda)^2=\rho^2\\ (\gamma-k)^2+(\delta-\lambda)^2=\rho^2\\ (a-\gamma)^2+(\beta-\delta)^2=4\rho^2 \end{matrix}\right\}$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle a+\gamma=2k$ και $\displaystyle \beta+\delta=2\lambda$

Γ΄ Λυκείου (κατεύθυνσης)

Αν $\displaystyle \rho>0$ , $\left.\begin{matrix} (a-k)^2+(\beta-\lambda)^2=\rho^2\\ (\gamma-k)^2+(\delta-\lambda)^2=\rho^2\\ (a-\gamma)^2+(\beta-\delta)^2=4\rho^2 \end{matrix}\right\}$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle a+\gamma=2k$ και $\displaystyle \beta+\delta=2\lambda$

Εφαρμογή

Έστω $\displaystyle w_1, \ \ w_2$ δύο μιγαδικοί με εικόνες σημεία του κύκλου με κέντρο το $\displaystyle K(-1,0)$ και ακτίνα $\displaystyle \rho=2$ , για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle \left|w_1-w_2\right|=4$ . Να βρεθεί το $\displaystyle \left|w_1+w_2\right|$
(Θέμα Γ4 - επαναληπτικών εξετάσεων 2010)

Α΄ Λυκείου

Αν $\displaystyle \rho>0$ , $\displaystyle \left.\begin{matrix} (a-k)^2+(\beta-\lambda)^2=\rho^2\\ (\gamma-k)^2+(\delta-\lambda)^2=\rho^2\\ (a-\gamma)^2+(\beta-\delta)^2=4\rho^2 \end{matrix}\right\}$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle a+\gamma=2k$ και $\displaystyle \beta+\delta=2\lambda$

Απάντηση

Θέτουμε $\displaystyle a-k=x, \ \ \beta-\lambda=y, \ \ \gamma-k=z, \ \ \delta-\lambda=\omega$ και έτσι έχουμε:

$\displaystyle \left.\begin{matrix} x^2+y^2=\rho^2\\ z^2+\omega^2=\rho^2\\ (x-z)^2+(y-\omega)^2=4\rho^2 \end{matrix}\right\}$

Κάνουμε τις ταυτότητες στην τρίτη ισότητα και χρησιμοποιώντας τις δύο πρώτες προκύπτει ότι:

$\displaystyle 2xz+2y\omega=-2\rho^2$

Έτσι

$\displaystyle (x+z)^2+(y+\omega)^2=x^2+y^2+z^2+\omega^2+2xz+2y\omega=\rho^2+\rho^2-2\rho^2=0$

οπότε

$\displaystyle x+z=0$ και $\displaystyle y+\omega=0$ ,

απ' όπου εύκολα έχουμε

$\displaystyle a+\gamma=2k$ και $\displaystyle \beta+\delta=2\lambda$

Β΄ Λυκείου (κατεύθυνσης)

Αν $\displaystyle \rho>0$ , $\displaystyle \left.\begin{matrix} (a-k)^2+(\beta-\lambda)^2=\rho^2\\ (\gamma-k)^2+(\delta-\lambda)^2=\rho^2\\ (a-\gamma)^2+(\beta-\delta)^2=4\rho^2 \end{matrix}\right\}$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle a+\gamma=2k$ και $\displaystyle \beta+\delta=2\lambda$

Απάντηση

Από τις δύο πρώτες ισότητες καταλαβαίνουμε ότι τα σημεία
$\displaystyle A(a,\beta) , \ \ B(\gamma, \delta)$
είναι σημεία του κύκλου με κέντρο το $\displaystyle K(k,\lambda)$ και ακτίνα $\displaystyle \rho$ .
Από την τρίτη ισότητα έχουμε ότι η $\displaystyle AB$ είναι διάμετρος του κύκλου.

Συνεπώς $\displaystyle K$ μέσο του $\displaystyle AB$ οπότε $\displaystyle a+\gamma=2k$ και $\displaystyle \beta+\delta=2\lambda$

Γ΄ Λυκείου (κατεύθυνσης)

Αν $\displaystyle \rho>0$ , $\displaystyle \left.\begin{matrix} (a-k)^2+(\beta-\lambda)^2=\rho^2\\ (\gamma-k)^2+(\delta-\lambda)^2=\rho^2\\ (a-\gamma)^2+(\beta-\delta)^2=4\rho^2 \end{matrix}\right\}$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle a+\gamma=2k$ και $\displaystyle \beta+\delta=2\lambda$

Απάντηση

Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle w_0=k+\lambda i, w=a+\beta i, z=\gamma+\delta i$

ισχύουν: $\displaystyle \left.\begin{matrix}\left|w-w_0\right|=\rho \\\left|z-w_0\right|=\rho\\\left|w-z\right|=2\rho \end{matrix}\right\}$ , $\displaystyle \rho>0$ . Θα δειχθεί ότι: $\displaystyle w+z=2w_0$

Θέτουμε: $\displaystyle w-w_0=w_1, \ \ z-w_0=z_1$

οπότε έχουμε $\displaystyle \left.\begin{matrix}\left|w_1\right|=\rho \\\left|z_1\right|=\rho\\\left|w_1-z_1\right|=2\rho \end{matrix}\right\}$

Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle \left|w_1+z_1\right|^2+ \left|w_1-z_1\right|^2=2 \left|w_1\right|^2+2 \left|z_1\right|^2$

Έτσι, εύκολα, προκύπτει ότι $\displaystyle \left|w_1+z_1\right|^2=0\Rightarrow w_1+z_1=0\Rightarrow w+z=2w_0$

Serifis.com

Για κάθε τάξη του Λυκείου.

Για κάθε τάξη του Λυκείου.

Re: Για κάθε τάξη του Λυκείου.

Μέλη σε σύνδεση