Η "χρυσή" συνάρτηση.

Η "χρυσή" συνάρτηση.

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 21 Σεπ 2012, 20:22

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις με

Απάντηση

Ακολουθία Fibonacci είναι η ακολουθία .

Το όριο της ακολουθίας είναι ο "χρυσός" αριθμός , για τον οποίο ισχύει:

Ορίζουμε τις συναρτήσεις: , με ακέραιος

Για την συνάρτηση που αναζητούμε και για την οποία ισχύει: αποδεικνύονται εύκολα τα παρακάτω:

    , με επαγωγή

    Η συνάρτηση είναι 1-1, οπότε και γνησίως μονότονη ως συνεχής.


Θα αποδείξουμε ακόμα ότι για την συνάρτηση το σύνολο τιμών της είναι το

1η Περίπτωση: Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

Σύνολο τιμών:

Το είναι τιμή της και αν υποθέσουμε ότι υπάρχει το οποίο δεν είναι τιμή της τότε, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, θα πρέπει



το οποίο είναι άτοπο.

Ομοίως, οδηγούμαστε σε άτοπο, αν υποθέσουμε ότι υπάρχει που δεν είναι τιμή της .

Άρα το σύνολο τιμών της είναι το

Εύρεση της συνάρτησης

Για ,

λόγω μονοτονίας, είναι

και

έτσι

και

συνεπώς
και

οπότε



Ομοίως για

Άρα , η οποία επαληθεύει τα δεδομένα.

2η Περίπτωση: Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Σύνολο τιμών:

Το είναι τιμή της και αν υποθέσουμε ότι υπάρχει το οποίο δεν είναι τιμή της τότε, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, θα πρέπει



το οποίο είναι άτοπο.

Ομοίως, οδηγούμαστε σε άτοπο, αν υποθέσουμε ότι υπάρχει που δεν είναι τιμή της .

Άρα το σύνολο τιμών της είναι το

Εύρεση της συνάρτησης

Είναι άρα και εφόσον το σύνολο τιμών της είναι το ισχύει:

Επίσης ισχύει ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

Ορίζουμε τις γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις

,

για τις οποίες αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύουν:

και

Ορίζουμε ακόμα τις συναρτήσεις:

και γενικά

και θετικός ακέραιος.

Με την βοήθεια των σχέσεων έχουμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύουν:



και



Έτσι, έχουμε ότι:

Επαγωγικά τώρα είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι:

Ακόμα, οι συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες , ενώ οι είναι γνησίως φθίνουσες.

Για είναι:





Συνεπώς



Ομοίως για

Άρα

και


η οποία επαληθεύει τα δεδομένα.
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας

Επιστροφή στο Για τον Εκπαιδευτικό

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης