Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Ιαν 2012, 17:04
από Κώστας Σερίφης
Από "Αρχιμήδη"

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις , οι οποίες έχουν αρχική και ικανοποιούν τη σχέση



Απάντηση

Έστω η συνάρτηση με .

Η δοσμένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την

Για προκύπτει: ή .

    Αν τότε

    άρα , η οποία επαληθεύει την αρχική εξίσωση.


    Αν τότε εύκολα δείχνουμε ότι και επιπλέον

Έστω η αρχική της . Θα είναι:

και με σταθερό:



Άρα .

Για και εφόσον έχουμε οπότε

.

Για

.

Αν τότε οπότε και άτοπο. Άρα .

Επίσης και έτσι .

Εύκολα από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι ή οπότε

, εφόσον .

Τελικά

, με οποιονδήποτε πραγματικό, οι οποίες επαληθεύουν την εξίσωση.