Serifis.com

Αν $a,b,c > 0$ , να αποδειχθεί ότι :

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+ \sqrt{\frac{b}{c+a}}+ \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq 2$

από **Tolaso J Kos** » 01 Μαρ 2016, 16:28

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Αν $a,b,c > 0$ , να αποδειχθεί ότι :

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+ \sqrt{\frac{b}{c+a}}+ \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq 2$

Μία λύση, αλλά μπορεί να 'ναι και λάθος. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $a+b+c=1$ . Τότε:

$\begin{align*}\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}} &= \sum \sqrt{\frac{a}{1-a}} \\ &\geq 2 \sum a \\&=2 \cdot 1 \\&=2\end{align*}$

Δε κοίταξα για ισότητα. Πιάνεται;

Καλά που το ανέφερες.
Η ισότητα νομίζω δεν πιάνεται.
Πάντως τη λύση σου αν θέλεις κοίταξέ την πάλι. Δεν ξέρω αν όντως δεν γίνεται βλάβη της γενικότητας..

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Αν $a,b,c > 0$ , να αποδειχθεί ότι :

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+ \sqrt{\frac{b}{c+a}}+ \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq 2$

Μπορούμε να δείξουμε εύκολα την ανισότητα:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

οπότε

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+ \sqrt{\frac{b}{c+a}}+ \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

Η ισότητα δεν μπορεί να ισχύει εκτός αν κάποιος από τους $a,b,c$ είναι ίσος με $0$ και οι άλοι δύο είναι ίσοι.

από **Ορέστης** » 09 Ιούλ 2016, 10:53

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Αν $a,b,c > 0$ , να αποδειχθεί ότι :

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+ \sqrt{\frac{b}{c+a}}+ \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq 2$

Από AM-GM $\sum{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}}= \sum{\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}}} \geq \sum{\dfrac{a}{\dfrac{a+b+c}{2}}}=\sum{\dfrac{2a}{a+b+c}}=2$ .

Η ισότητα δεν μπορεί να ισχύει,αφού $a.b,c>0$

Serifis.com

Ανισότητα (juniors)

Ανισότητα (juniors)

Re: Ανισότητα (juniors)

Re: Ανισότητα (juniors)

Re: Ανισότητα (juniors)

Re: Ανισότητα (juniors)

Μέλη σε σύνδεση