Μία κατασκευή (2)

Μία κατασκευή (2)

Δημοσίευσηαπό Tolaso J Kos » 25 Φεβ 2016, 18:40

Δίδεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:

  • Το σύνολο τιμών της είναι το , δηλ.
  • H αντιστρέφεται και η αντίστροφή της είναι συνεχής.

Αν ισχύει ότι:



  1. Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη.
  2. Να δείξετε ότι η είναι γνήσια αύξουσα και να βρείτε το τύπο της.
  3. Να βρείτε το τύπο της .
  4. Έστω η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των . Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται της γραφικής παράστασης της αντίστροφης, της ευθείας του άξονα , του άξονα και της ευθείας .

Υ.Σ: Θεωρώ την άσκηση αρκετά απαιτητική για τη Γ' Λυκείου. Λύνεται με τη τωρινή ύλη χωρίς να χρειάζεται θεωρήματα του τύπου: "αν η είναι μονότονη τότε και η έχει το ίδιο είδος μονοτονίας" ή άλλα παρεμφερή.

Καλή σας ενασχόληση.
Tolaso J Kos
 
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 14:48

Re: Μία κατασκευή (2)

Δημοσίευσηαπό Λάμπρος Μπαλός » 28 Φεβ 2016, 13:20

Μου αρέσει αυτή η άσκηση.

Αρχικά

Επίσης

i) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο , οπότε η είναι παράγουσά της, σαφώς παραγωγίσιμη.

ii) Αλλαγή μεταβλητής για το ολοκλήρωμα .

Όταν και όταν και η αρχική σχέση γίνεται :

, η οποία για γίνεται :

και παραγωγίζοντας :



Η λοιπόν συνεχής και μη μηδενιζόμενη οπότε θα διατηρεί πρόσημο. Αφού , η άρα η θα είναι γνησίως αύξουσα.

.

Για προκύπτει , άρα



to be continued..
Λάμπρος Μπαλός
 
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 00:32

Re: Μία κατασκευή (2)

Δημοσίευσηαπό maiksoul » 29 Φεβ 2016, 01:18

Έχω την εντύπωση, ότι το χωρίο του οποίου ζητάμε το εμβαδόν , δεν είναι καλά ορισμένο ! Έχουμε εξάλου . Αποστόλη τη λες ;
ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
maiksoul
 
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: 09 Φεβ 2016, 01:13

Re: Μία κατασκευή (2)

Δημοσίευσηαπό Tolaso J Kos » 29 Φεβ 2016, 14:53

maiksoul έγραψε:Έχω την εντύπωση, ότι το χωρίο του οποίου ζητάμε το εμβαδόν , δεν είναι καλά ορισμένο ! Έχουμε εξάλου . Αποστόλη τη λες ;


Μιχάλη, δε βλέπω το πρόβλημα. Η αντίστροφη είναι αυτή που λες και η ευθεία είναι η . Οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι το:



Επειδή η είναι κοίλη, τα πρόσημα αντιστρέφονται και συνεχίζουμε. Κάνω λάθος;
Tolaso J Kos
 
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 14:48

Re: Μία κατασκευή (2)

Δημοσίευσηαπό maiksoul » 29 Φεβ 2016, 21:53

Tolaso J Kos έγραψε:
το ζητούμενο εμβαδόν είναι το:





Αποστόλη, ο άξονας χ'χ που συμμετέχει στο χωρίο ; επίσης το 2 που αναφέρεις στο ολοκλήρωμα που δίνεις πως προέκυψε;

Tolaso J Kos έγραψε:Επειδή η είναι κοίλη, τα πρόσημα αντιστρέφονται και συνεχίζουμε. Κάνω λάθος;

Όχι δεν κάνεις λάθος. Σωστά μιλάς !

Ο τύπος του εμβαδού που δίνεις παραπάνω παραπέμπει σε άλλο χωρίο από αυτό που αναφέρεις στην εκφώνηση .

Συγκεκριμμένα, στο χωρίο που ορίζεται από τις ευθείες και τις
ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
maiksoul
 
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: 09 Φεβ 2016, 01:13

Re: Μία κατασκευή (2)

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 29 Φεβ 2016, 22:45

Tolaso J Kos έγραψε:
το ζητούμενο εμβαδόν είναι το:





maiksoul έγραψε:Ο τύπος του εμβαδού που δίνεις παραπάνω παραπέμπει σε άλλο χωρίο από αυτό που αναφέρεις στην εκφώνηση .

Συγκεκριμμένα, στο χωρίο που ορίζεται από τις ευθείες και τις


Μιχάλη το δεν ορίζει το χωρίο. Οι τέμνονται στο

Το χωρίο που ορίζεται από τις ευθείες και τις έχει εμβαδόν, λόγω συμμετρίας,

Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας

Re: Μία κατασκευή (2)

Δημοσίευσηαπό Tolaso J Kos » 01 Μαρ 2016, 02:10

To σωστό είναι αυτό που γράφετε και οι δύο. Λάθος διατύπωση του ερωτήματος. :(

Σας ευχαριστώ.
Tolaso J Kos
 
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 14:48

Re: Μία κατασκευή (2)

Δημοσίευσηαπό maiksoul » 01 Μαρ 2016, 13:51

Κώστα ,την ευθεία χ=0, την έδωσα περισσότερο για να δώσω ποιο σαφή περιγραφή του χωρίου.Όπως πολύ σωστά περιγράφεις,αυτή... προκύπτει και φυσικά δεν χρειάζεται να δωθεί !
ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
maiksoul
 
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: 09 Φεβ 2016, 01:13


Επιστροφή στο Γ΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης