Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Δημοσίευσηαπό mathxl » 24 Φεβ 2016, 00:29

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση , η οποία είναι κυρτή και . Να δείξετε ότι
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 362
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Δημοσίευσηαπό makisman » 24 Φεβ 2016, 14:46

Από jensen στο είναι

Άρα

Με αλλαγή μεταβλητής στο δευτερο ολοκληρωμα προκύπτει το ζητούμενο .
makisman
 
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: 07 Φεβ 2016, 17:46

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 24 Φεβ 2016, 19:30

Καλή άσκηση!

Κάτι παρόμοιο - ελπίζω να μην έχω λάθος...

Αν παραγωγίσιμη

ισχύουν:

    Αν η κυρτή τότε

    Αν η κοίλη τότε

Γενίκευση:

Αν παραγωγίσιμη και

ισχύουν:

    Αν η κυρτή τότε

    Αν η κοίλη τότε

Σημείωση: Ενδεχομένως να αποδεικνύονται και πιο εύκολα, (εκτός από Jensen), δεν ξέρω... τι λέτε;
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Δημοσίευσηαπό mathxl » 24 Φεβ 2016, 21:35

Έχω ίδια τρόπο λύσης με τον Μάκη!

Για την άσκηση του Κώστα θα αποδείξω την ανισότητα για την κυρτή, φαντάζομαι όμοια αποδεικτική διαδικασία μπορεί να γίνει και για την κοίλη.
Θεωρούμε την συνάρτηση
Είναι και για έχουμε:







Η πρώτη παράγωγος είναι γνήσια αύξουσα στο αφού η συνάρτηση είναι κυρτή, οπότε:


, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο ως συνεχής σε αυτό.

Για είναι .
Για έπεται το ζητούμενο.
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 362
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Δημοσίευσηαπό mathxl » 24 Φεβ 2016, 23:14

Συμπληρωματικό ερώτημα στην γενίκευση του Κώστα το παρακάτω:

Να δείξετε ότι:
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 362
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Δημοσίευσηαπό Tolaso J Kos » 25 Φεβ 2016, 02:08

Κώστας Σερίφης έγραψε:
Γενίκευση:

Αν παραγωγίσιμη και

ισχύουν:

    Αν η κυρτή τότε

    Αν η κοίλη τότε



Αυτές οι δύο είναι η ανισότητα Hermite Hadamard για κυρτή και κοίλη συνάρτηση αντίστοιχα. Η απόδειξη είναι αυτή που δόθηκε λίγο πιο πάνω. Η ισότητα ισχύει μόνο για σταθερές συναρτήσεις.
Tolaso J Kos
 
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 14:48

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Δημοσίευσηαπό makisman » 25 Φεβ 2016, 02:46

Tolaso J Kos έγραψε:
Αυτές οι δύο είναι η ανισότητα Hermite Hadamard για κυρτή και κοίλη συνάρτηση αντίστοιχα. Η απόδειξη είναι αυτή που δόθηκε λίγο πιο πάνω. Η ισότητα ισχύει μόνο για σταθερές συναρτήσεις.


Αποστόλη η ισότητα ισχύει και για γραμμικες (μόνο).
makisman
 
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: 07 Φεβ 2016, 17:46

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Δημοσίευσηαπό Tolaso J Kos » 25 Φεβ 2016, 17:28

makisman έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
Αυτές οι δύο είναι η ανισότητα Hermite Hadamard για κυρτή και κοίλη συνάρτηση αντίστοιχα. Η απόδειξη είναι αυτή που δόθηκε λίγο πιο πάνω. Η ισότητα ισχύει μόνο για σταθερές συναρτήσεις.


Αποστόλη η ισότητα ισχύει και για γραμμικες (μόνο).


:oops: :oops:
Σωστά... αφού και αυτές είναι κυρτοκοίλες! Ευχαριστώ για την επισήμανση.
Tolaso J Kos
 
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 14:48

Re: Ολοκλήρωμα και ανισότητα

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 25 Φεβ 2016, 20:01

Tolaso J Kos έγραψε:
Κώστας Σερίφης έγραψε:
Γενίκευση:

Αν παραγωγίσιμη και

ισχύουν:

    Αν η κυρτή τότε

    Αν η κοίλη τότε



Αυτές οι δύο είναι η ανισότητα Hermite Hadamard για κυρτή και κοίλη συνάρτηση αντίστοιχα. Η απόδειξη είναι αυτή που δόθηκε λίγο πιο πάνω. Η ισότητα ισχύει μόνο για σταθερές συναρτήσεις.


Είχα κατα νου το εξής:

(θέτουμε )

(Jensen)

Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας


Επιστροφή στο Γ΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης