Νέο βοήθημα

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό makisman » 09 Φεβ 2016, 01:30

mathxl έγραψε:Με τους ίδιους κανόνες και για το τρίτο βιβλίο...μόνο με ύλη γ λυκείου

Για το τρίτο βιβλίο μια δική μου κατασκευή

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση , τέτοια ώστε:
και
για κάθε να ισχύει .
i. Να βρείτε τον τύπο της
ii. Να δείξετε ότι υπάρχουν με ώστε



1.

Η παρακάτω λύση προυποθετει τη συνεχεια της f' που δε δίνεται (ελπίζω από παραλειψη του mathxl)

για κάθε είναι



για κάθε είναι



άρα

για τις 2 παραγοντικες ολοκληρώσεις χρησιμοποιήθηκε η διαδικασία










Η λύση χωρίς συνέχεια της f'


Εστω παραγωγίσμιμη με .Τοτε από τη δεδομένη σχέση είναι

ακόμα είναι .

Eστω ότι υπάρχει , τότε εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο θα υπάρχει

, άτοπο

Eστω ότι υπάρχει , τότε εφαρμόζωντας ΘΜΤ στο θα υπάρχει

, άτοπο

άρα για κάθε είναι και .


2.
είναι για καθε και εφόσον συνεχής

θα είναι γν.αύξουσα με .

Εφόσον θα υπάρχουν μοναδικά και διαφορετικά (αφου η είναι γν. αύξουσα και συνεχής) στο ώστε

και οποτε


αλλιώς το 2. ,

Εστω συνεχής με , τότε από θ.Bolzano υπάρχει

Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στην στα υπάρχουν



makisman
 
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: 07 Φεβ 2016, 17:46

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 09 Φεβ 2016, 22:18

Πολύ καλές οι λύσεις του makisman.

Να κάνω κάποιες παρατηρήσεις, κυρίως για τους μαθητές που παρακολουθούν και ενδεχομένως να αναρωτηθούν: "καλά πως το σκέφτηκε αυτό;" :o

1. Πως μπορούμε να βρούμε μια αρχική της για να θεωρήσουμε την συνάρτηση ;

Η απάντηση είναι η εξής:

Μια αρχική της είναι η .

Το ορισμένο αυτό ολοκλήρωμα, κάνοντας 2 παραγοντικές, όπως περιγράφεται και στην λύση του makisman, είναι ίσο με

Όλες οι αρχικές της είναι οι

Μπορούμε να επιλέξουμε για ... ότι μας βολεύει και έτσι,

προκύπτει η

2. Εφόσον , μπορούμε να σκεφτούμε ότι η είναι φθίνουσα στο .

Όμως, οπότε θα πρέπει η συνάρτηση να είναι σταθερή.

Κάτι τέτοιο όμως μπορεί να θεωρηθεί εκτός σχολικής ύλης!

Έχουμε δύο επιλογές.

Η μία είναι αυτή που περιγράφεται από τη λύση του makisman, με άτοπο.

Η δεύτερη:

Έστω Από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν ώστε να ισχύουν:





Από τις έχουμε εύκολα ότι

3. Για τη δεύτερη λύση στο 2. Πως σκεφτήκαμε τη συνάρτηση ;

Από τη μορφή του ερωτήματος σκεφτόμαστε να κάνουμε για την συνάρτηση δύο θεωρήματα μέσης τιμής "σπάζοντας" το διάστημα σε κάποιο σημείο αλλά

ποιο θα πρέπει να είναι αυτό;

Θα το καταλάβουμε αν εφαρμόζοντας το ΘΜΤ στα οπότε θα καταλήξουμε:



Σκεφτόμαστε τώρα ότι το πρέπει να είναι ίσο με ισοδύναμα θα πρέπει το να είναι τέτοιο ώστε:

. Αυτό το επιτυγχάνουμε με Bolzano για την συνάρτηση
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό JasonSome » 09 Φεβ 2016, 23:24

Βρε παιδιά, να πάρει και κανένας μαθητής κανένα βιβλίο; Έχω λύσει ασκήσεις από τις παραπάνω, αλλά δεν προλαβαίνω να τις πληκτρολογήσω... Πάντα κάποιος μαθηματικός θα με προλαβαίνει!!

Σημείωση: Ο λαός απαιτεί και άλλη άσκηση!!!
JasonSome
 
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: 09 Φεβ 2016, 22:10

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό mathxl » 09 Φεβ 2016, 23:54

Πολύ ωραία φίλε makisman. Η δική μου λύση ταυτίζεται με αυτήν που παρέθεσε ο Κώστας για τον τύπο και για το υπαρξιακό ο δεύτερος σου τρόπος, που πάλι εξήγησε ο Κώστας την ιδέα κατασκευής. Σε αυτόν τον τρόπο είναι εύκολο να δείξουμε ότι διαφορετικό του ωστόσο μου άρεσε πολύ ο α τρόπος σου στο υπαρξιακό! Κατά συνέπεια στείλε μου σε παρακαλώ με πμ διεύθυνση, ονοματεπώνυμο, πόλη, ΤΚ για να σου στείλω το τρίτο βιβλίο :D .

Για τον μαθητή Ιάσονα(;), θα δοθούν άλλα 2 βιβλία, απλά δωσε μου λίγο χρόνο και stay tuned! Ευχαριστώ και τον Λάμπρο για το feedback!
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 364
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό mathxl » 11 Φεβ 2016, 00:32

Πάμε και για το τέταρτο βιβλίο με τους ίδιους κανόνες (δική μου κατασκευή)

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με . Αν η είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 364
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό Μαρία » 11 Φεβ 2016, 03:16

mathxl έγραψε:Πάμε και για το τέταρτο βιβλίο με τους ίδιους κανόνες (δική μου κατασκευή)

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με . Αν η είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι


ονομάζω το ολοκλήρωμα Α.

Αν θέσω όπου , τότε και για , το και για , το


Αν θέσω όπου , τότε και για , το και για , το


Προσθέτω και έχουμε : (1)

Θα θεωρήσω τη συνάρτηση στο
επειδή για

Απόδειξη της τελευταίας πρότασης
Για την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση από Θεώρημα Μέσης Τιμής θα υπάρχει τέτοιο, ώστε και εφόσον η κυρτή, θα είναι .

βγαίνει έτσι για τη συνάρτηση ότι είναι γνησίως αύξουσα στο .


Στο , ισχύει και η ισότητα ισχύει μόνο στο . Στο , το
γίνεται
επίσης και η ισότητα μόνο στο .
Οπότε στο χωρίς να είναι πάντα μηδέν.
Ολοκληρώνοντας θα έχουμε (2)


Στο , ισχύει και η ισότητα ισχύει μόνο στο .
Στο η σχέση ισούται με
επίσης και η ισότητα μόνο στο .
Οπότε στο χωρίς να είναι πάντα μηδέν.
Ολοκληρώνοντας θα έχουμε (3)


Προσθέτοντας τις (2) και (3) έχουμε .
Μαρία
 
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 23:09

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό JasonSome » 11 Φεβ 2016, 22:47

mathxl έγραψε:Πάμε και για το τέταρτο βιβλίο με τους ίδιους κανόνες (δική μου κατασκευή)

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με . Αν η είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι


Λοιπόν, μου φαίνεται πως εγώ πρέπει να πάρω το 4ο βιβλίο που βρήκα αντιπαράδειγμα για την άσκηση!!! Το εξής:

οπότε παραγωγίσιμη, και κυρτή. Σύμφωνα με το Wolfram http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+from+0+to+1+of+f(x)%3D(1-2*x%5E2)*(1000)*(e%5E(-0.0001*x)-1), το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι θετικό, άρα αντιπαράδειγμα!!!
JasonSome
 
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: 09 Φεβ 2016, 22:10

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό mathxl » 11 Φεβ 2016, 23:01

Εμένα μου το βγάζει αρνητικό και πολύ κοντά στο 0....
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+1000*(1-2*x%5E2)*(e%5E(-x%2F1000)-1)+dx+from+0+to+1

Πέρα αυτού η θεωρητική απόδειξη είναι πιο ισχυρή από τους προσεγγιστικούς υπολογισμούς που κάνουν υπολογιστικές μηχανές.
Η σκιαγράφηση της δικής μου απόδειξης, είναι δύο εφαρμογές του θεωρήματος μέσης τιμής στα
Με χρήση της μονοτονίας της πρώτης παραγώγου για τις τιμές της παραγώγου από τα θεωρήματα μέσης τιμής προκύπτει
Άρα , και επειδή προκύπτει το ζητούμενο.
Το τέταρτο βιβλίο πάει στην Μαρία!! ;)
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 364
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό JasonSome » 12 Φεβ 2016, 00:38

mathxl έγραψε:Εμένα μου το βγάζει αρνητικό και πολύ κοντά στο 0....
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+1000*(1-2*x%5E2)*(e%5E(-x%2F1000)-1)+dx+from+0+to+1

Πέρα αυτού η θεωρητική απόδειξη είναι πιο ισχυρή από τους προσεγγιστικούς υπολογισμούς που κάνουν υπολογιστικές μηχανές.
Η σκιαγράφηση της δικής μου απόδειξης, είναι δύο εφαρμογές του θεωρήματος μέσης τιμής στα
Με χρήση της μονοτονίας της πρώτης παραγώγου για τις τιμές της παραγώγου από τα θεωρήματα μέσης τιμής προκύπτει
Άρα , και επειδή προκύπτει το ζητούμενο.
Το τέταρτο βιβλίο πάει στην Μαρία!! ;)


Πράγματι, μάλλον κάποια πατάτα του Wolfram!!!!!
JasonSome
 
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: 09 Φεβ 2016, 22:10

Re: Νέο βοήθημα

Δημοσίευσηαπό mathxl » 14 Φεβ 2016, 23:24

Το πέμπτο βιβλίο με το οποίο ολοκληρώνεται αυτός ο μίνι διαγωνισμός...
Μία άσκηση μέσα από το βιβλίο

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με και , για κάθε .
Αν ισχύει , για κάθε τότε:
Δ1. Να δείξετε ότι η είναι κυρτή.
Δ2. Να δείξετε ότι , για κάθε .
Δ3. Να βρείτε το σύνολο τιμών της .
Δ4. Να λύσετε στο διάστημα την εξίσωση .
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 364
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

ΠροηγούμενηΕπόμενο

Επιστροφή στο Γ΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης