Κέρασμα 1

Κέρασμα 1

Δημοσίευσηαπό mathxl » 01 Ιαν 2016, 18:44

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις , τέτοιες ώστε να ισχύουν:
, και για κάθε .
Αν επιπλέον είναι: και , τότε:
i. Να δείξετε ότι για κάθε .

ii. Να δείξετε ότι οι είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο .
ii. Να δείξετε ότι για κάθε .

iv. Να βρείτε τους τύπους των και .


Σχόλιο: Αγνοήστε τις αγκύλες στις μαθηματικές συμβολοσειρές (δεν ξέρω πως εμφανίζονται, πάτησα το κουμπάκι λάτεξ και μετά έκανα επικόλληση από το μαθτάιπ)
Τελευταία επεξεργασία από Κώστας Σερίφης και 02 Ιαν 2016, 23:11, έχει επεξεργασθεί 2 φορά/ες συνολικά
Αιτία: Διόρθωση.. αγκύλες!
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 364
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

Re: Κέρασμα 1

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 02 Ιαν 2016, 23:14

Βασίλη, Χρόνια Πολλά και Καλή Χρονιά.
Οι αγκύλες ήταν αποτέλεσμα ενός επιπλέον \[ στην αρχή και \] στο τέλος!
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας

Re: Κέρασμα 1

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 05 Ιαν 2016, 15:08

mathxl έγραψε:Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις , τέτοιες ώστε να ισχύουν:
, και για κάθε .
Αν επιπλέον είναι: και , τότε:
i. Να δείξετε ότι για κάθε .

ii. Να δείξετε ότι οι είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο .
ii. Να δείξετε ότι για κάθε .

iv. Να βρείτε τους τύπους των και .


Από την είναι

i.
Εφόσον η είναι συνεχής και δεν μηδενίζει στο διάστημα θα διατηρεί, σ' αυτό, σταθερό πρόσημο. Επειδή θα είναι

ii.
Από την και το i είναι , οπότε η παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων,
άρα η δύο φορές παραγωγίσιμη.

Από την είναι , οπότε η παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων,
άρα η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη.

iii.
Είναι οπότε και με την βοήθεια των έχουμε εύκολα το ζητούμενο

iv.
Από την για προκύπτει ότι

Από την Επομένως Όμως , οπότε πρέπει
Έτσι έχουμε

Είναι άρα πρέπει και οπότε

. Όμως .

Άρα

και εύκολα από την σχέση προκύπτει ότι

Εύκολα επαληθεύουμε ότι οι συναρτήσεις ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες.
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας


Επιστροφή στο Γ΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης