Σύνθεση μονοτονία και 1-1

Σύνθεση μονοτονία και 1-1

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 09 Οκτ 2011, 20:27

Άσκηση
Δίνονται οι συναρτήσεις για τις οποίες γνωρίζουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και η είναι γνησίως φθίνουσα.
Να δειχθεί ότι:
α. Οι συναρτήσεις είναι

β. Οι συναρτήσεις δεν είναι συνεχείς.

Απάντηση

α. Αν η συνάρτηση δεν είναι τότε υπάρχουν με και .
Έτσι, θα είναι , που είναι άτοπο αφού η είναι γνησίως φθίνουσα.
Ομοίως για το της .

β. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής τότε θα είναι και γνησίως μονότονη και έστω ότι είναι γνησίως αύξουσα. Έστω, ακόμα, με . Αν είναι τότε λόγω μονοτονίας της θα πρέπει το οποίο είναι άτοπο αφού η είναι γνησίως αύξουσα. Άρα θα πρέπει , οπότε και η είναι γνησίως αύξουσα.
Συνεπώς, με την υπόθεση ότι η είναι γνησίως αύξουσα, συμπεραίνουμε ότι και η θα πρέπει να είναι γνησίως αύξουσα. Τότε, όμως, η θα είναι γνησίως αύξουσα, το οποίο είναι άτοπο.
Με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο και στις υπόλοιπες περιπτώσεις.
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας

Επιστροφή στο Γ΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης