Σελίδα 1 από 1

Επαναληπτικό θέμα

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Φεβ 2019, 15:49
από mathxl
Μια άσκηση που προτάθηκε στο φουμπου σε διάφορες ομάδες κατασκευή του Μπάμπη Κωνσταντίνου (8-2-2019)

Δίνεται η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν

συνεχής στο και

, για κάθε

, για κάθε

1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα

2. Να υπολογίσετε την τιμή της στο

3. Nα μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

4. Να μελετήσετε το πρόσημο της συνάρτησης

5. Αν επιπλέον ισχύει , για κάθε , τότε να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Re: Επαναληπτικό θέμα

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Φεβ 2019, 18:53
από mathxl
Σύντομες απαντήσεις

1. Για έχουμε , υποθέτουμε μια δεύτερη διαφορετική ρίζα και καταλήγουμε σε άτοπο με Rolle

2. Για διαφορετικό του διαιρούμε με το και παίρνουμε όρια στα μέλη όταν το τείνει στο 0. Εξαιτίας της συνέχειας της παραγώγου στο παίρνουμε με Horner ή η οποία δεν μπορεί να ισχύει αφού η παράγωγος στο είναι μεγαλύτερη του

3. Για διαφορετικό του έχουμε

άρα η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών σε καθένα από τα διαστήματα και επειδή είναι συνεχής και στο από υπόθεση έπεται ότι είναι συνεχής.
Η παράγωγος ως συνεχής και μή μηδενιζόμενη στο σύνολο των πραγματικών διατηρεί σταθερό πρόσημο. Η τιμή της στο είναι θετική άρα η πρώτη παράγωγος είναι θετική που σημαίνει ότι η συνάρτηση μας είναι γνησίως αύξουσα.

4. Συγκρίνουμε το τυχαίο θετικό με τη ρίζα και λόγω μονοτονίας έχουμε ότι . Αντίστοιχα είναι αρνητική για αρνητικά

5. Για κάθε ξεκινώντας από την και με ιδιότητες ανισοτήτων δείχνουμε ότι
Από εδώ και πέρα είτε με μονοτονία (φθίνουσα μη λυκειακά) είτε με δύο εφαρμογές του θεωρήματος μέσης τιμής στα είτε με άτοπο προκύπτει ότι που ικανοποιεί την υπόθεση

Re: Επαναληπτικό θέμα

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Φεβ 2019, 20:46
από Κώστας Σερίφης
mathxl έγραψε:
5. Για κάθε ξεκινώντας από την και με ιδιότητες ανισοτήτων δείχνουμε ότι
Από εδώ και πέρα είτε με μονοτονία (φθίνουσα μη λυκειακά) είτε με δύο εφαρμογές του θεωρήματος μέσης τιμής στα είτε με άτοπο προκύπτει ότι που ικανοποιεί την υπόθεση


Βασίλη το σωστό είναι

και

Re: Επαναληπτικό θέμα

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Μαρ 2019, 22:24
από mathxl
Ναι, θα έκανα μάλλον κάποιο "μαγικό" σε χαρτί που τώρα δεν βρίσκω.

Θα γράψω την λύση για το τελευταίο ερώτημα.

Για έχουμε:




Επειδή η πρώτη παράγωγος είναι θετική έπεται ότι τα μέλη της πρώτης ανισότητας είναι θετικά αφού είναι φανερά θετικά της δεύτερης. Πολλαπλασιάζοντας τις κατά μέλη προκύπτει

Για τα μέλη των παραπάνω ανισοτήτων είναι αρνητικά οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη αλλάζει η φορά και παίρνουμε


Για με δεδομένο ότι
και με εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα .
Όμως

Άρα για κάθε ισχύει .

Στο ίδιο συμπέρασμα φτάνουμε και όταν δουλεύοντας με όμοιο τρόπο και επειδή έπεται ότι που επαληθεύει την υπόθεση της άσκησης.