Θεώρημα Darboux

Θεώρημα Darboux

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 12 Απρ 2018, 11:19

Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και τότε υπάρχει τέτοιο ώστε

Απόδειξη

Έστω ότι τότε θα ισχύουν:

    οπότε για κοντά στο , θα είναι

    οπότε για κοντά στο , θα είναι

Αφού η είναι συνεχής στο θα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Από τις παραπάνω ανισότητες καταλαβαίνουμε ότι το ελάχιστο δεν μπορεί να είναι στις θέσεις ,

οπότε θα υπάρχει στο οποίο η θα έχει ελάχιστο και έτσι, από το θεώρημα Fermat,

Με τον ίδιο τρόπο η απόδειξη στην περίπτωση που

Μερικές συνέπειες του παραπάνω θεωρήματος

Πόρισμα 1

Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και τότε για οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ των υπάρχει τέτοιο ώστε

Απόδειξη Εφαρμογή του Darboux για την συνάρτηση


Πόρισμα 2

Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα και τότε η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας

Επιστροφή στο Γ΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες