Σελίδα 1 από 1

Άσκηση Επανάληψης 1ου Κεφαλάιου

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Δεκ 2017, 12:40
από Κώστας Σερίφης
Έστω μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν τα παρακάτω:





    συνεχής στο

A. Να δείξετε ότι

    α) η είναι συνεχής στο 0

    β) η είναι συνεχής στο

    γ) ισχύει

B. Υπάρχουν δύο μόνο συναρτήσεις που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος και έστω

η συνάρτηση για την οποία ισχύει, επιπλέον,

    α) Να βρεθούν οι

    β) Να δείξετε ότι , όπου η συνάρτηση για την οποία:

    γ) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

Re: Άσκηση Επανάληψης 1ου Κεφαλάιου

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2018, 02:08
από georgeddod8
Για το α ερώτημα που κατά την ταπεινή μου γνώμη είναι και το ποιο δύσκολο

α> Από την σχέση για παίρνουμε άρα





Τότε από αυτά έχουμε :





Άρα έχουμε





Από αυτά με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε


Re: Άσκηση Επανάληψης 1ου Κεφαλάιου

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2018, 02:25
από georgeddod8
Τώρα για το Β

Β>

από την 1 έχουμε :





Αν

αρκεί να δείξουμε ότι

Από την (1) και εφόσον η συνεχής στο έχουμε:




Άρα η f είναι συνεχής στο

Re: Άσκηση Επανάληψης 1ου Κεφαλάιου

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2018, 02:35
από georgeddod8
Για το γ ερώτημα

γ>

Από την είναι και αφού η συνεχής

θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

Γνωρίζουμε ότι οπότε


Re: Άσκηση Επανάληψης 1ου Κεφαλάιου

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2018, 20:44
από Κώστας Σερίφης
Ναι Γιώργο (;) έτσι ακριβώς το σκεφτόμουνα το θέμα....

Εκ των υστέρων βέβαια είδα και το εξής: το Αα) μπορεί να λυθεί, αν κάποιος απαντήσει στο Αβ) και μετά

αναζητήσει τις συνεχείς συναρτήσεις που δεν μηδενίζουν στα διαστήματα: και

Αυτές θα είναι συνεχείς στο

Να είσαι καλά...

Re: Άσκηση Επανάληψης 1ου Κεφαλάιου

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιαν 2018, 14:03
από georgeddod8
Ναι Κώστα αυτό είχα σκεφτεί αρχικά , δηλαδή να λύσω το Αβ) και μετά να πάω στο Αα) με την μαθηματική λογική θα ήταν λάθος όμως , με την κοινή ανθρώπινη λογική θα ήταν σωστό , εκτός και αν άλλαζες την σειρά των εωτημάτων της άσκησης.
Υ.Γ Ναι Γιώργο με λένε , για το (;). Σύντομα θα λύσω και τα υπόλοιπα ερωτήματα.

Re: Άσκηση Επανάληψης 1ου Κεφαλάιου

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Φεβ 2018, 19:06
από georgeddod8
Bβ> h(x)=2 προς Χ , χ διάφορο του μηδενός hof1=f2
{Ahof1= [ x ανήκει f1 ] f1(x) ανήκει Αh}={ X ανήκει R/ ρίζα χ^2 +1 + Χ διάφορο του μηδενός , που ισχύει. Αρα Αf2=R
και (h0f1)(x)=hf1(x)= 1 πρός ρίζα χ^2+1 +χ= ρίζα χ^2+1 - Χ = f2(x)

Re: Άσκηση Επανάληψης 1ου Κεφαλάιου

ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Φεβ 2018, 19:28
από georgeddod8
Bγ> Εαν ψ ανήκει στο R : f1(x)=Ψ συνεπαγωγή ρίζα χ^2 +1 + χ = ψ συνεπαγωγή ρίζα χ^2 +1 = ψ - χ , ψ-χ> = ο
χ^2 +1 = ψ^2-2χψ + χ^2 , ψ>= χ συνεπαγωγή 2χψ=ψ^2 - 1 , ψ διάφορο του μηδενός συνεπαγωγή χ= ψ^2 -1 πρός 2ψ συνεπαγωγή χ= (ψ-1)(ψ+1) πρός 2ψ πρέπει ψ-χ >=0 συνεπαγωγή ψ- ψ^2-1 πρός 2ψ >=0 συνεπαγωγή ψ^2+1 πρός 2ψ >=0 . Άρα ψ>0. Συνεπώς f(A)= ( 0 , συν άπειρο) . Άρα για κάθε ψ ανήκει ( 0 , + απειρο)
η f(x)=ψ έχει μοναδική ρίζα την χ= ψ^2 +1 πρός 2ψ , οπότε η f αντιστρέφεται.
Και επίσημα η λύση της άσκησης ολοκληρώθηκε. :lol: :P