Τρίτο Θέμα

Τρίτο Θέμα

Δημοσίευσηαπό Λάμπρος Μπαλός » 30 Μαρ 2016, 12:27

Ο τίτλος οφείλεται στο γεγονός ότι ως τρίτο θέμα προτείνεται στο μπλε (εκδ. Κανδύλας) κ.λπ. Αυτό το βιβλίο στο μεταξύ, όσο προχωρούν οι σελίδες, τόσο πιο εύστοχο γίνεται. Το παρακάτω θέμα θεωρώ πως είναι ό,τι πρέπει για Πανελλαδικές και όμορφο συνάμμα! Οι κατασκευαστές είναι οι κύριοι Τηλέγραφος και Παντούλας. Δεν τους ξέρω τους ανθρώπους προσωπικά (μόνο έτυχε να μιλήσω με τον κύριο Παντούλα μια φορά και μέσω διαδικτύου) και παρακαλώ να μη θεωρηθεί πως κάνω διαφήμιση. Το λέω επειδή και στο mathematica έτυχε να βάλω δική τους άσκηση! Αλλωστε είμαι ο πρώτος που θα τόνιζε αρνητικά σημεία ενός συγγράμματος. Εδώ ας πούμε υπάρχουν πολλά τυπογραφικά τα οποία όμως πιστεύω θα διορθωθούν σε επόμενη έκδοση. Προχωρώ στην άσκηση.

Τρίτο Θέμα

Εστω συναρτήσεις ώστε .

Ακόμη, η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και περιττή.

Αν ,

Γ1. Να δείξετε ότι η είναι περιττή και ότι

Γ2. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία .

Γ3. Να δείξετε ότι , με .

Γ4. Να δείξετε ότι .

Γ5. Αν η είναι συνεχής, να δείξετε ότι .
Λάμπρος Μπαλός
 
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 00:32

Re: Τρίτο Θέμα

Δημοσίευσηαπό Rempeskes » 30 Μαρ 2016, 15:15

Καλησπέρα.

Μια αντιμετώπιση για αυτήν την όμορφη κατασκευή:

1)

Ισχύει ότι

και επίσης,



συνεπώς η περιττή.

Και για

2)

Εδώ νιώθω πως πάω μέσω....Τρικάλων αλλά δε πειράζει.


γνησίως μονότονη άρα και .Πάμε λοιπόν να χτίσουμε την μονοτονία της .

Έστω τυχαία









διότι η ως γνησίως μονότονη θα είναι και .Άρα η είναι

Πάμε τώρα να βρούμε την μονοτονία της .






Άρα

Έστω ότι γνησίως αύξουσα, τότε

ΑΤΟΠΟ άρα γνησίως φθίνουσα.

Πάμε τώρα γκαι για την μονοτονία της .


Παρατηρούμε ότι


Έστω





Άρα (επιτέλους :lol: ) δείξαμε ότι η γνησίως φθίνουσα.

3)



Αλλά,



και επειδή η

Άρα,

Οπότε,



4)



(εύκολα δείχνουμε ότι με χρήση του κριτηρίου παρεμβολής)

Επίσης,



διότι γνησίως φθίνουσα άρα


Όμοια καταλήγουμε στο ότι οπότε

Άρα,



5)



Άρα,



Οπότε,




Και ένα σχόλιο:

Θεωρώ πως δεν κάνει για 3ο Θέμα.

Ίσως να κάνει για 4ο.
Rempeskes
 
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: 13 Μαρ 2016, 14:28


Επιστροφή στο Γ΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης