Ένα απλό Θέμα 4

Ένα απλό Θέμα 4

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 27 Μαρ 2016, 21:53

Τι θα λέγατε για 4ο Θέμα το παρακάτω;

"...Η λύση του απαιτεί από τον μαθητή ικανότητες συνδυασμού και σύνθεσης γνώσεων, αλλά και την ανάληψη πρωτοβουλιών για την ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσής του..."( ΦΕΚ 862/τ.β./15-05-2015.) ;

Θέλω ένα επιπλέον χαρακτηριστικό: να είναι απλό, (ανεξάρτητα από το βαθμό δυσκολίας της επίλυσής του), στη διατύπωσή του.

Είναι χαζό να φορτώνουμε ένα θέμα με ερωτήματα άσχετα μεταξύ τους για να πετύχουμε ένα "δύσκολο" θέμα.


Έστω η συνεχής στο συνάρτηση , για την οποία ισχύει:

    Α. Να υπολογίσετε το και να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο στο .(Μονάδες 7)

    Β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και κυρτή και να βρείτε τις ασύμπτωτες της. (Μονάδες 13)

    Γ. Να υπολογίσετε την διαφορά , όπου τα εμβαδά των χωρίων
    που περικλείονται από την γραφική παράσταση της τους άξονες και τις ευθείες
    αντίστοιχα. (Μονάδες 5)


Δοκιμάστε να το λύσετε... έχει δύσκολα σημεία!
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας

Re: Ένα απλό Θέμα 4

Δημοσίευσηαπό Tolaso J Kos » 28 Μαρ 2016, 07:03

α) Εφόσον η είναι συνεχής στο είναι συνεχής και στο και άρα ισχύει ότι



Άρα . Συνεπώς η έχει τύπο: . H για είναι προφανώς παραγωγίσιμη. Αρκεί τώρα να εξετάσουμε τη παράγωγο στο . Άρα πρέπει να δούμε το όριο αν υπάρχει. Πράγματι , έχουμε ότι:



Συνεπώς η παράγωγος δίδεται του τύπου Για τη συνέχεια αυτής στο χρησιμοποιούμε πάλι το κανόνα De L' Hospital και βγάζουμε το ζητούμενο. (πράξεις ρουτίνα).

β) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση . Παρατηρούμε ότι . Εφόσον η είναι παραγωγίσιμη έχουμε ότι . Συνεπώς η είναι γνήσια αύξουσα στο και γνήσια φθίνουσα στο και παρουσιάζει ελάχιστο στο . Έτσι λοιπόν το πρόσημο της είναι θετικό. Οπότε η είναι αρνητική για κάθε άρα η είναι γνήσια φθίνουσα.

Το κυρτή δε μπορώ να το δω τώρα; Να κατέβω στη δεύτερη;

Πάντως οι ασύμπτωτες είναι εύκολες. Δεν υπάρχει κατακόρυφη αφού είναι συνεχής στο . Ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο αφού (άμεσο) και στο έχουμε :



και



Άρα στο έχουμε πλάγια ασύμπτωτη τη .

Συνέχεια σε επόμενο post.
Tolaso J Kos
 
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 14:48

Re: Ένα απλό Θέμα 4

Δημοσίευσηαπό Tolaso J Kos » 28 Μαρ 2016, 08:05

γ) Η είναι συνεχής στο , γνήσια φθίνουσα και θετική, διότι και (άμεσο αφού ο παρανομαστής είναι και ο αριθμητής ). Τα ζητούμενα εμβαδά είναι της μορφής:



Δε μας απασχολεί ο υπολογισμός των εμβαδών ξεχωριστά, αλλά ο υπολογισμός της διαφοράς. Ας μελετήσουμε το πρώτο ολοκλήρωμα ξεχωριστά:



οπότε έχουμε διαδοχικά:



Τώρα το κυρτή δε το βλέπω. Πάντως πρέπει να την έχω ξανά πετύχει κάπου την άσκηση.
Κώστα, ωραία ασκησούλα.
Tolaso J Kos
 
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: 08 Φεβ 2016, 14:48

Re: Ένα απλό Θέμα 4

Δημοσίευσηαπό mathxl » 28 Μαρ 2016, 14:19

Τόλη μόλις σου έστειλα τις 2 άλγεβρες. Αυτός-ή που θα δείξει το κυρτή θα πάρει της γ κατεύθυνσης.
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 364
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

Re: Ένα απλό Θέμα 4

Δημοσίευσηαπό Lampros Katsapas » 28 Μαρ 2016, 23:29

mathxl έγραψε:Τόλη μόλις σου έστειλα τις 2 άλγεβρες. Αυτός-ή που θα δείξει το κυρτή θα πάρει της γ κατεύθυνσης.

Να φανταστώ ότι εγώ που έχω κερδίσει ήδη βιβλίο δεν μπορώ να παρουσιάσω την απόδειξη της κυρτότητας... :D
Lampros Katsapas
 
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: 15 Φεβ 2016, 00:21

Re: Ένα απλό Θέμα 4

Δημοσίευσηαπό mathxl » 29 Μαρ 2016, 00:16

Δώσε λίγο χρόνο αν θες σε κάποιον άλλο που δεν έχει πάρει βιβλίο πχ μέχρι το επόμενο Σαββατοκύριακο.
mathxl
 
Δημοσιεύσεις: 364
Εγγραφή: 23 Αύγ 2014, 15:31

Re: Ένα απλό Θέμα 4

Δημοσίευσηαπό Rempeskes » 29 Μαρ 2016, 02:41

Η κυρτότητα πάντως βγαίνει με την πεπατημένη.

Εκτός αν υπάρχει κάποιος τρόπος λιγότερο επίπονος, οπότε πάω πάσο.

Κύριε Κώστα, παρόλο που η άσκηση είναι πολύ ωραία από μαθηματικής σκοπιάς, ως 4ο θέμα θεωρώ πως δεν θα εξυπηρετήσει τον σκοπό της επίτευξης της πολυπόθητης κλιμάκωσης των βαθμολογιών.
Rempeskes
 
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: 13 Μαρ 2016, 14:28

Re: Ένα απλό Θέμα 4

Δημοσίευσηαπό Κώστας Σερίφης » 29 Μαρ 2016, 19:21

Ναι!
Το θέμα αναφέρεται στη μελέτη μιας απλής συνάρτησης και καλύπτει ένα μεγάλο μέρος της εξεταστέας ύλης.
Για το μαθητή, ο οποίος εξετάζεται σε ένα τρίωρο, έχει επίπονη εργασία για την επίλυσή του και ένα δύο δύσκολα σημεία στα οποία μπορεί να παγιδευτεί, όπως η κυρτότητα και η διαφορά των εμβαδών. Για μια πλήρη παρουσίαση της απάντησης ένας καλός μαθητής θα πρέπει να αφιερώσει μία ώρα από τις τρεις που έχει στη διάθεσή του. Για να βαθμολογηθεί με άριστα θα πρέπει να έχει απαντήσει και στα υπόλοιπα τρία θέματα πλήρως.
Ποιο ποσοστό των μαθητών θα τα καταφέρει;
-Δεν ξέρω! Ο μαθητής όμως που θα το καταφέρει είναι καλός μαθητής και, εφόσον έχει γράψει καλά και στα υπόλοιπα μαθήματα, θα πρέπει να του δοθεί η δυνατότητα να επιλέξει όποια σχολή επιθυμεί.
Το να ψάχνουμε τον Einstein μέσα από τα θέματα των σχολικών μαθηματικών για να τον στείλουμε στην Ιατρική, ή στο στρατό δεν είναι λογικό.
Άβαταρ μέλους
Κώστας Σερίφης
Διαχειριστής
 
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: 20 Ιαν 2011, 18:22
Τοποθεσία: 43060 Μουζάκι Καρδίτσας


Επιστροφή στο Γ΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης